Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{{a_n}+2}}（n∈{N^*}）$，则a₁₀=$\frac{1}{1023}$．

Answer 1

分析 由已知取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+1，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+1=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$+1），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：由已知取倒数可得：$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{2}{a_n}+1⇒\frac{1}{{{a_{n+1}}}}+1=2（{\frac{1}{a_n}+1}）$，
又a₁=1，故$\frac{1}{a_n}+1={2^{n-1}}（{\frac{1}{a_1}+1}）={2^n}$，${a_n}=\frac{1}{{{2^n}-1}}$，${a_{10}}=\frac{1}{1023}$．
故答案为：$\frac{1}{1023}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．