Question

18．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=m+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+$\frac{π}{4}，θ=φ-\frac{π}{4}$与曲线M交于A，B，C三点（异于O点）
（I）求证：|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（II）当φ=$\frac{π}{12}$时，直线l经过B，C两点，求m与α的值．

Answer 1

分析 （I）利用极坐标方程，即可证明：|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（II）当φ=$\frac{π}{12}$时，直线l经过B，C两点，求出B，C的坐标，即可求m与α的值．

解答 （Ⅰ）证明：由已知：$|{OB}|=4cos（{φ+\frac{π}{4}}），|{OC}|=4cos（{φ-\frac{π}{4}}），|{OA}|=4cosφ$
∴$|{OB}|+|{OC}|=4cos（{φ+\frac{π}{4}}）+4cos（{φ-\frac{π}{4}}）=8cosφcos\frac{π}{4}=\sqrt{2}|{OA}|$…（5分）
（Ⅱ）解：当$φ=\frac{π}{12}$时，点B，C的极角分别为$φ+\frac{π}{4}=\frac{π}{3}，φ-\frac{π}{4}=-\frac{π}{6}$，
代入曲线M的方程得点B，C的极径分别为：${ρ_B}=4cos\frac{π}{3}=2，{ρ_C}=4cos（{-\frac{π}{6}}）=2\sqrt{3}$
∴点B，C的直角坐标为：$B（{1，\sqrt{3}}），C（{3，-\sqrt{3}}）$，
则直线l的斜率为$k=-\sqrt{3}$，方程为$l：\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0$，与x轴交与点（2，0）；
由$l：\left\{\begin{array}{l}x=m+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$，知α为其倾斜角，直线过点（m，0），
∴$m=2，α=\frac{2π}{3}$…（10分）

点评 本题考查极坐标方程的运用，考查直线的参数方程，属于中档题．