Question

7．已知直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y²=4x相交于A，B两点，O、F分别为C的顶点和焦点，若$\overrightarrow{OA}$=λ$\overrightarrow{FB}$（λ∈R），则k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意，A是OB的中点．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立方程化为k²x²+（2k²-4）x+k²=0，（k＞0）．可得根与系数的关系，利用焦点弦与抛物线的定义可得：|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1，利用|FB|=2|FA|，联立解出即可．

解答 解：由题意，A是OB的中点．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线C：y²=4x，
化为k²x²+（2k²-4）x+k²=0，（k＞0）．
∴x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$-2①，x₁x₂=1②．
∵A是OB的中点，
∴|FB|=2|FA|，|FA|=x₁+1，|FB|=x₂+1，
∴x₂+1=2（x₁+1）③，
化为x₂=2x₁+1．
联立①②③，解得k=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．