Question

16．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-（a+1）x+alnx，\;a∈R$．
（1）若a=-2，求曲线y=f（x）的与直线y=2x+1平行的切线方程；
（2）若a＞0，求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）=2计算切点横坐标，从而得出切点坐标，代入点斜式方程化简即可；
（2）对a进行讨论，判断f（x）在[1，2]上的单调性，利用单调性计算最小值．

解答 解：（1）a=-2时，f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+x-2lnx$，
令f′（x）=x+1-$\frac{2}{x}$=2，解得x=2，或x=-1（舍）．
∵f（2）=4-2ln2，
∴切线方程为y-4+2ln2=2（x-2），即y=2x-2ln2．
（2）f′（x）=x-a-1+$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{x}$=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，
令f′（x）=0得x=1或x=a，
若0＜a≤1，则当x∈[1，2]时，f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f_min（x）=f（1）=-$\frac{1}{2}$-a．
若a≥2，则当x∈[1，2]时，f′（x）≤0，
∴f（x）在[1，2]上单调递减，
∴f_min（x）=f（2）=4-2a+aln2．
若1＜a＜2，则当1≤x＜a时，f′（x）≤0，当a≤x≤2时，f′（x）≥0，
∴f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增，
∴f_min（x）=f（a）=-$\frac{1}{2}$a²-a+alna．
综上：当0＜a≤1时，f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$-a；
当1＜a＜2时，f（x）的最小值为-$\frac{1}{2}$a²-a+alna；
当a≥2时，f（x）的最小值为4-2a+aln2．

点评 本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．