Question

（本小题满分14分）
如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB="4," BC="CD=2, "
AA="2, " E、E分别是棱AD、AA的中点.   
（1）设F是棱AB的中点,证明：直线EE//平面FCC；
（2）证明:平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.

Answer 1

略

证明:（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中点F₁，
连接A₁D，C₁F₁，CF₁，因为AB="4," CD=2,且AB//CD，

所以CDA₁F₁，A₁F₁CD为平行四边形， ………2分
所以CF₁//A₁D，                   
又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，
所以EE₁//A₁D，                       ………3分
所以CF₁//EE₁，                                  ………4分
又因为平面FCC，                        ………5分
平面FCC，                              ………6分
所以直线EE//平面FCC.                         ………7分
（2）连接AC,在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

所以CC₁⊥AC,                     ………8分
因为底面ABCD为等腰梯形，AB="4," BC=2,
F是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，
△BCF为正三角形，………10分
,△ACF为等腰三角形，且
所以AC⊥BC,                                     
又因为BC与CC₁都在平面BB₁C₁C内且交于点C,
所以AC⊥平面BB₁C₁C,                              ………12分
而平面D₁AC,                                 ………13分
所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C.             ………………………14分