Question

【题目】如图，三棱柱中，，，平面.

（1）求证：；

（2）若，直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）首先由平面证得，根据四边形是菱形证得，由此证得平面，进而证得.

（2）首先根据“直线与平面所成的角为”得到.以为坐标原点建立空间直角坐标系，通过平面的法向量和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.

（1）证明：因为平面，所以，

因为，所以四边形是菱形，所以，

因为，所以平面，

所以.

（2）因为与平面所成的角为，，

所以与平面所成的角为，

因为平面，

所以与平面所成的角为，

所以，

令，则，，，

以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，

因为，

所以，平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，则，，，

所以，

所以二面角的余弦值为.