Question

【题目】设椭圆的右焦点为，过的直线与相交于两点.

（1）若，求的方程；

（2）设过点作轴的垂线交于另一点，若是的外心，证明:为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意，设直线的方程为，代入椭圆方程消，根据韦达定理求出两根之和、两根之积，由，可得，两根之和、两根之积即可求解.

（2）由（1）得的中点坐标为，利用弦长公式求出，根据题意可得的垂直平分线方程，求出点的坐标，进而求出，进而可求解.

（1）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，

代入得，

设，则，

若，则，解得，

所以，的方程为

（2）由（1）得的中点坐标为

所以

因为是的外心，所以是线段的垂直平分线与的垂直平分线的交点，

的垂直平分线为

令，得，即，

所以，

，所以为定值.