Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数的图象在点处的切线的斜率为1，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？

Answer 1

【答案】（1）当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（2）.

【解析】

（1）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数；②解（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），

（2）点处的切线的斜率为1，即，可求值，代入得的解析式，由，且在区间上总不是单调函数可知：g′(1)＜0，g′(2)＜0，g′(3)＞0，于是可求m的范围．

（1）由知：

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；

当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；

（2）由得

，.

,

∵函数在区间上总存在极值，

∴有两个不等实根且至少有一个在区间内

又∵函数是开口向上的二次函数，且，

由得，在上单调递减，

所以；，

由，解得；

综上得：所以当m在内取值时，对于任意，函数，在区间上总存在极值.