Question

17．已知过点M（-3，-3）的直线l被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为10，求直线l的方程为x-3y-6=0．

Answer 1

分析 当直线l的斜率不存在时，过点M（-3，-3）的直线l的方程为x=-3，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）-3，求出圆x²+y²+4y-21=0的圆心、半径及圆心（0，-2）到直线l：y=k（x+3）-3的距离，根据过点M（-3，-3）的直线l被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为10，由勾股定理能求出直线l．

解答 解：当直线l的斜率不存在时，过点M（-3，-3）的直线l的方程为x=-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{{x}^{2}+{y}^{2}+4y-21=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴直线l：x=-3被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为4，不合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x+3）-3，
圆x²+y²+4y-21=0的圆心（0，-2），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+84}$=5，
圆心（0，-2）到直线l：y=k（x+3）-3的距离d=$\frac{|0+2+3k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{|3k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵过点M（-3，-3）的直线l被圆x²+y²+4y-21=0所截得的弦长为10，
∴由勾股定理得：${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{10}{2}）^{2}$，即25=$\frac{（3k-1）^{2}}{{k}^{2}+1}$+25，
解得k=$\frac{1}{3}$，∴直线l：y=$\frac{1}{3}$（x+3）-3，整理，得x-3y-6=0．
故答案为：x-3y-6=0．

点评 本题考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆、直线方程的性质及点到直线的距离公式的合理运用．