Question

16．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}-1}$a_n-1（n≥2，n∈N^*），则数列{$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$}的前n项和T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 由条件可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{n}{n+1}$•$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，令b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，可得b_n=$\frac{n}{n+1}$•b_n-1，由b_n=b₁•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$•$\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$…$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$，求得b_n，进而得到a_n，可得$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=$\frac{{n}^{2}}{{n}^{2}-1}$a_n-1（n≥2，n∈N^*），
可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{n}{n+1}$•$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，
令b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，可得b_n=$\frac{n}{n+1}$•b_n-1，
由b_n=b₁•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$•$\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$…$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n-2}}$•$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=1•$\frac{2}{3}$•$\frac{3}{4}$…$\frac{n-1}{n}$•$\frac{n}{n+1}$=$\frac{2}{n+1}$，
可得a_n=$\frac{2n}{n+1}$，
即有$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
则前n项和T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．
故答案为：$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的求和，注意运用构造数列法，结合数列恒等式，考查裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于难题．