Question

【题目】已知函数f（x）= ﹣ +3（﹣1≤x≤2）．
（1）若λ= 时，求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解： （﹣1≤x≤2）

设 ，得g（t）=t2﹣2λt+3（ ）．

当 时， （ ）．

所以 ， ．

所以 ， ，

故函数f（x）的值域为[ ， ]

（2）解：由（1）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（ ）

①当 时， ，

令 ，得 ，不符合舍去；

②当 时， ，

令﹣λ2+3=1，得 ，或 ，不符合舍去；

③当λ＞2时，g（t）min=g（2）=﹣4λ+7，

令﹣4λ+7=1，得 ，不符合舍去．

综上所述，实数λ的值为

【解析】（1）化简 （﹣1≤x≤2），再利用换元法得g（t）=t2﹣2λt+3（ ）；从而代入λ= 求函数的值域；（2）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（ ），讨论λ以确定函数的最小值及最小值点，从而求λ．
【考点精析】本题主要考查了函数的值域和函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．