Question

19．已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点；
（1）求三棱锥P-ACO的体积；
（2）求异面直线MC与PO所成的角．

Answer 1

分析 （1）由已知得AB=8，OC=4，OC⊥AB，PO=3，由此能出三棱锥P-ACO的体积．
（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线MC与PO所成的角．

解答 解：（1）∵圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，
AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，
∴AB=8，OC=4，OC⊥AB，
∴PO=$\sqrt{P{A}^{2}-A{O}^{2}}$=$\sqrt{25-16}$=3，
∴三棱锥P-ACO的体积V_P-ACO=$\frac{1}{3}×{S}_{△AOC}×OP$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4×3$=8．
（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，-4，0），P（0，0，3），M（0，-2，$\frac{3}{2}$），C（4，0，0），O（0，0，0），
$\overrightarrow{MC}$=（4，2，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{PO}$=（0，0，-3），
设异面直线MC与PO所成的角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{PO}|}{|\overrightarrow{MC}|•|\overrightarrow{PO}|}$=$\frac{\frac{9}{2}}{\sqrt{\frac{89}{4}}•3}$=$\frac{3\sqrt{89}}{89}$，
故异面直线MC与PO所成的角为arccos$\frac{3\sqrt{89}}{89}$．

点评 本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．