Question

10．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_2n=4（a₁+a₃+…+a_2n-1），a₁•a₂•a₃=27，则log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₂₀=（　　）

• A． 210
• B． 190
• C． 220
• D． 242

Answer 1

分析 由等比数列的通项公式得a₂=3，在S_2n=4（a₁+a₃+…+a_2n-1）中，由n=1，得a₁=1，q=3，从而a_n=1×3^n-1=3^n-1，进而log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₂₀=$lo{g}_{3}（{3}^{0}×3×{3}^{2}×…×{3}^{19}）$，由此能求出结果．

解答 解：∵等比数列{a_n}的前n项和为S_n，
S_2n=4（a₁+a₃+…+a_2n-1），a₁•a₂•a₃=27，
∴利用等比数列的性质可得，a₁a₂a₃=a₂³=27 即a₂=3，
∵S_2n=4（a₁+a₃+…+a_2n-1）
∴n=1时有，S₂=a₁+a₂=4a₁，解得a₁=1，q=3，
∴a_n=1×3^n-1=3^n-1，
∴log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a₂₀=log₃（a₁×a₂×…×a₂₀）
=$lo{g}_{3}（{3}^{0}×3×{3}^{2}×…×{3}^{19}）$=$lo{g}_{3}{3}^{190}$=190．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．