Question

10．在?ABCD中，AB=2，∠DAB=$\frac{2}{3}$π，E是BC的中点，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=2$，则$|\overrightarrow{AD}|$=4．

Answer 1

分析 设|$\overrightarrow{AD}$|=x＞0，由向量的三角形法则可得$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$代入$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=2，利用数量积的运算性质展开即可求得结果．

解答 解：如图所示，平行四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=$\frac{2}{3}$π，E是BC的中点，
设|$\overrightarrow{AD}$|=x＞0，
∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）（-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AE}$-${\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x•2•cos$\frac{2π}{3}$-2²
=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-4=2，
化为x²-x-12=0，
∵x＞0，解得x=4，
即AD=4．
答案为：4

点评 本题考查了平面向量的三角形法则以及数量积的运算问题，是基础题．