Question

18．已知直线l：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线l₁，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l₁的方程．
（3）若直线l与两坐标轴的负半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）直线l：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．化为：m（x-2y-3）+2x+y+4=0，联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）设直线l₁与两条坐标轴分别相交于A（a，0），B（0，b）．线段AB的中点为M（-1，-2），则a=-2，b=-4．即可得出直线l₁的方程．
（3）设直线l与两条坐标轴分别相交于A（a，0），B（0，b）．可得方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，把点M（-1，-2）代入可得：$\frac{-1}{a}+\frac{-2}{b}$=1，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）直线l：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．化为：m（x-2y-3）+2x+y+4=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-3=0}\\{2x+y+4=0}\end{array}\right.$，解得x=-1，y=-2．
可得：不论m为何实数，直线l恒过一定点M（-1，-2）．
（2）设直线l₁与两条坐标轴分别相交于A（a，0），B（0，b）．
线段AB的中点为M（-1，-2），则a=-2，b=-4．
∴直线l₁的方程为：$\frac{x}{-2}$+$\frac{y}{-4}$=1，可得：2x+y+4=0．
（3）设直线l与两条坐标轴分别相交于A（a，0），B（0，b）．
可得方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1，
把点M（-1，-2）代入可得：$\frac{-1}{a}+\frac{-2}{b}$=1，
∴$1≥2\sqrt{\frac{-1}{a}•\frac{-2}{b}}$，化为：ab≥8，当且仅当b=2a=-4时取等号．
可得：直线l与两坐标轴的负半轴围成的三角形面积最小，S=$\frac{1}{2}$（-a）（-b）=4．
则l的方程为：：$\frac{x}{-2}$+$\frac{y}{-4}$=1，可得：2x+y+4=0．

点评 本题考查了直线系的应用、中点坐标公式、直线的截距式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．