Question

3．如图，已知$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{AD}$，则$\overrightarrow{AD}$等于（　　）

• A． $\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{b}$
• B． $\frac{3}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$
• C． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$
• D． $\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$

Answer 1

分析 取BC的中点E，连结AE，则$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$），$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AC}$），从而得出答案．

解答 解：如图所示：

取BC的中点E，连结AE，
∵$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，∴D是CE的中点，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AE}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AE}$，
又E是BC的中点，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{b}$，
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．