Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为-3，求m的值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．x∈（0，+∞）．f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0，解得x=1．即可得出单调区间．
（2）g（x）=xf（x）+mx=1+lnx+mx，在区间（0，e]上的最大值为-3．可得1+lnx+mx≤-3，m≤$\frac{-4-lnx}{x}$，令g（x）=$\frac{-4-lnx}{x}$，x∈（0，e]．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．x∈（0，+∞）．
f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1．
∴0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；1＜x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴函数f（x）的单调递增区间为（0，1）；递减区间为[1，+∞）．
（2）g（x）=xf（x）+mx=1+lnx+mx，在区间（0，e]上的最大值为-3．
∴1+lnx+mx≤-3，∴m≤$\frac{-4-lnx}{x}$，
令g（x）=$\frac{-4-lnx}{x}$，x∈（0，e]．
g′（x）=$\frac{lnx+3}{{x}^{2}}$．
可得：函数g（x）在$（0，\frac{1}{{e}^{3}}）$上单调递减，在$（\frac{1}{{e}^{3}}，e]$上单调递增．
∴$x=\frac{1}{{e}^{3}}$时，函数g（x）取得极小值即最小值，$g（\frac{1}{{e}^{3}}）$=-e³．
∴m≤-e³．
取m=-e³．

点评 本题考查了利用导数研究单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．