Question

2．已知0＜a＜b＜1，求证：
（Ⅰ）a+b＜1+ab；
（Ⅱ）$\sqrt{a}-\sqrt{b}＜\sqrt{a+b}-\sqrt{b+1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用作差法，转化证明证明即可推出a+b＜1+ab；
（Ⅱ）利用分析法通过移项两边平方推出不等式成立的充分条件即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵（a+b）-（1+ab）
=a+b-1-ab
=（a-1）+b（1-a）
=（a-1）（1-b），
0＜a＜b＜1，
∴a-1＜0，1-b＞0．
∴（a-1）（1-b）＜0．
∴a+b＜1+ab．
（Ⅱ）要证：$\sqrt{a}-\sqrt{b}＜\sqrt{a+1}-\sqrt{b+1}$，
只需证：$\sqrt{a}+\sqrt{b+1}＜\sqrt{a+b}+\sqrt{b}$，
只需证：${（\sqrt{a}+\sqrt{b+1}）^2}＜{（\sqrt{a+1}+\sqrt{b}）^2}$，
即$a+b+1+2\sqrt{ab+a}＜a+b+1+2\sqrt{ab+b}$，
从而只需证：$2\sqrt{ab+a}＜2\sqrt{ab+b}$，
即$\sqrt{ab+a}＜\sqrt{ab+b}$，
只需证ab+a＜ab+b，
即a＜b，显然成立，
∴原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，分析法与作差法的应用．