Question

14．如图所示，三棱锥V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=2$\sqrt{3}$，VC=1，线段AB的中点为D．
（Ⅰ）求证：平面VCD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求三棱锥V-ABC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出VD⊥AB，VD=1，CD⊥AB，CD=1，从而AB⊥平面VCD，由此能证明平面VCD⊥平面ABC．
（Ⅱ）由AB⊥平面VCD，得三棱锥V-ABC的体积等于三棱锥A-VCD与B-VCD的体积之和，由此能求出三棱锥V-ABC的体积．

解答 证明：（Ⅰ）如图所示：
∵VA=VB=2，AB=2$\sqrt{3}$，D为AB的中点，
∴VD⊥AB，VD=$\sqrt{V{A}^{2}-A{D}^{2}}$=1．
同理CD⊥AB，CD=1，CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又∵AB?平面ABC，∴平面VCD⊥平面ABC．
解：（Ⅱ）∵AB⊥平面VCD，
∴三棱锥V-ABC的体积等于三棱锥A-VCD与B-VCD的体积之和．
∵VC=VD=CD=1，
∴△VCD的面积为：
${S}_{△VCD}=\frac{1}{2}×VD×CD×sin∠VDC$=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴三棱锥V-ABC的体积为：
V_V-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△VCD}×AB$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×2\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．