Question

19．当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，4^x＜log_ax，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• D． （1，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 结合题意分类讨论a＞1和0＜a＜1两种情况，得到关于实数a的不等式，求解不等式即可求得最终结果．

解答 解：由题意可得：
当a＞1时，结合$0＜x＜\frac{1}{2}$ 可得：${log}_{a}x＜0＜{4}^{x}$，不满足题意；
当0＜a＜1时，y=log_ax在区间 $（0，\frac{1}{2}）$上单调递减，y=4^x在区间$（0，\frac{1}{2}）$ 上单调递增，

满足题意4^x＜log_ax时有：${4}^{\frac{1}{2}}≤{log}_{a}（\frac{1}{2}）$，即：${log}_{a}（\frac{1}{2}）≥2$．
求解不等式可得实数a的取值范围是：$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．
故选：C．

点评 本题考查对数函数的单调性，分类讨论的思想，对数不等式的解法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．