Question

9．已知f（x）=（log₂x）²-2alog₂x-3（a∈R）．
（1）当a=-1时，解不等式f（x）＜0；
（2）若x∈[2，8]，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）解不等式求出不等式的解集即可；（2）求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）a=-1时，不等式f（x）＜0，
得${{（log}_{2}x）}^{2}$+2log₂x-3＜0，解得：-3＜log₂x＜1，
故不等式的解集是{x|$\frac{1}{8}$＜x＜2}；
（2）令t=log₂x，∵x∈[2，8]，∴t∈[1，3]，
函数f（x）换元得：
y=g（t）=t²-2at-3，t∈[1，3]，
此时二次函数开口向上，对称轴t=a，
①a≤1时，y_min=g（1）=1-2a-3=-2a-2，
②1＜a≤3时，y_min=g（a）=-a²-3，
③a＞3时，y_min=g（3）=6-6a．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．