Question

17．若函数f（x）=x+$\frac{1}{3}$e^2x+ae^x在（-∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）

• A． $[-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，+∞）$
• B． $[\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，+∞）$
• C． $[-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}]$
• D． $（-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\frac{{2\sqrt{6}}}{3}）$

Answer 1

分析 f′（x）=1+$\frac{2}{3}{e}^{2x}+a{e}^{x}$，令e^x=t，t＞0，要使函数f（x）=x+$\frac{1}{3}$e^2x+ae^x在（-∞，+∞）单调递增，只需$\frac{2}{3}{t}^{2}+at+1≥0$在t∈（0，+∞）上恒成立，即a≥-（$\frac{2}{3}t+\frac{1}{t}）$在t∈（0，+∞）上恒成立即可，

解答 解：f′（x）=1+$\frac{2}{3}{e}^{2x}+a{e}^{x}$
令e^x=t，t＞0，
要使函数f（x）=x+$\frac{1}{3}$e^2x+ae^x在（-∞，+∞）单调递增，只需$\frac{2}{3}{t}^{2}+at+1≥0$在t∈（0，+∞）上恒成立
即a≥-（$\frac{2}{3}t+\frac{1}{t}）$在t∈（0，+∞）上恒成立，
∵$\frac{2}{3}t+\frac{1}{t}≥\frac{2\sqrt{6}}{3}$，∴a$≥-\frac{2\sqrt{6}}{3}$
故选：A

点评 本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查了恒成立问题，属于中档题．