Question

5．给出下列命题：
①存在实数x，使sinx+cosx=$\frac{3}{2}$；      
②函数y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）是偶函数；
③若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
④函数y=sin2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象．
其中结论正确的序号是②．（把正确的序号都填上）

Answer 1

分析 分析sinx+cosx的取值范围，可判断①；举出反例α=390°，β=30°，可判断②；利用诱导公式化简函数解析式，结合偶函数的定义，可以判断③；利用函数图象的平移变换法则，求出平移后的函数解析式，可判断④．

解答 解：sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，而$\frac{3}{2}$∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，故①不正确；
对于②函数y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）是偶函数；
函数y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{2x}{3}$，满足f（-x）=f（x）是偶函数，故②正确；
对于③例如 α=390°，β=30°，是第一象限角，且α＞β，则cosα=cosβ，故③错误；
函数y=sin 2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$单位，得到函数y=sin2（x+$\frac{π}{4}$）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）的图象，故④错误．
故正确的命题有②，
故答案为：②．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的值域，单调性，奇偶性是平移变换，是三角函数的综合应用，难度中档．