Question

20．已知等差数列{a_n}满足a₂=2，a₆+a₈=14．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）记b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₂=2，a₆+a₈=14．可得：a₁+d=2，2a₁+12d=14，联立解出即可得出．
（II）记b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=2，a₆+a₈=14．
∴a₁+d=2，2a₁+12d=14，
解得a₁=d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（II）记b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
数列{b_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
化为：S_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．