Question

13．甲乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时两人正在游戏，切知甲再赢m（常数m＞1）次就获胜，而乙要再赢n（常数n＞m）次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束．
（1）若m=2，n=3，求ξ的分布列及数学期望；
（2）若n=m+2写出概率P（ξ=m+k）（k=2，3，…，m+1）的表达式（不必写出过程）．

Answer 1

分析 （1）讨论各种情况，利用相互独立事件的概率公式计算对应的概率，得出数学期望；
（2）根据组合数公式和概率公式得出概率表达式．

解答 解：（1）设事件A为：抛一次硬币，正面向上，事件B：抛一次硬币，反面向上，
则P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，
∵m=2，n=3，∴ξ的可能取值为2，3，4，
且P（ξ=2）=[P（A）]²=$\frac{1}{4}$，P（ξ=3）=${C}_{2}^{1}•$[P（A）]P[（B）]P（A）+[P（B）]³=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=4）=${C}_{3}^{1}$•P（A）•P（B）•P（B）•P（A）+${C}_{3}^{1}$•P（A）•[P（B）]³=$\frac{3}{8}$，
∴E（ξ）=2×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{3}{8}$+4×$\frac{3}{8}$=$\frac{25}{8}$．
（2）P（ξ=m+k）=（${C}_{m+k-1}^{m-1}$+${C}_{m+k-1}^{m+1}$）（$\frac{1}{2}$）^m+k．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与概率计算，属于中档题．