Question

3．设点A（x，y）在区域$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$上，点B（y，-x），设向量$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，则点C构成的几何图形的面积是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知向量等式可得$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x+y，y-x），设C（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m-n}{2}}\\{y=\frac{m+n}{2}}\end{array}\right.$．代入$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m-n≥2}\\{m+n≥2}\\{m≤3}\end{array}\right.$，作出可行域，利用三角形面积公式求得答案．

解答 解：∵A（x，y），B（y，-x），
∴向量$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x+y，y-x），
设C（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=m}\\{y-x=n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m-n}{2}}\\{y=\frac{m+n}{2}}\end{array}\right.$．
代入$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m-n≥2}\\{m+n≥2}\\{m≤3}\end{array}\right.$，
作出可行域如图：

联立$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，解得C（3，-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{m-n=2}\end{array}\right.$，解得B（3，1），
又A（2，0），
∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}×2×1=1$．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．