Question

14．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为等边三角形，侧面AA₁C₁C是正方形，E是A₁B的中点，F是棱CC₁上的点．
（1）若F是CC₁的中点，求证：AE⊥平面A₁FB；
（2）当V_B-AEF=9$\sqrt{3}$时，求正方形AA₁C₁C的边长．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点为M，连接EF，EM，CM，由已知条件推导出四边形EMCF是平行四边形，由AE⊥A₁B，AE⊥A₁B，能证明AE⊥平面A₁FB．
（2）设正方形AA₁C₁C的边长为x，由已知条件推导出点F到平面EAB的距离即为点C到平面平面AA₁B的距离，由V_E-EABF=V_F-ABE，利用等积法能求出正方形的边长．

解答 解：（1）取AB的中点M，连接EM，CM，
如图所示：
，
∵E是A₁B的中点，F是棱CC₁的中点，
∴$EM∥A{A_1}，FC∥A{A_1}，EM=FC=\frac{1}{2}A{A_1}$，
则四边形EMCF是平行四边形，
∴EF∥CM，
又△ABC为等边三角形，侧面AA₁C₁C是正方形，
∴AA₁=AB，AE⊥A₁B，CM⊥AB，
∵侧棱AA₁⊥平面ABC，∴CM⊥AA₁，
∴CM⊥平面A₁AB，∴EF⊥平面A₁AB，
∴EF⊥AE，
又AE⊥A₁B，A₁B∩EF=E，
∴AE⊥平面A₁FB；
（2）设正方形AA₁C₁C的边长为x，
∵CC₁∥平面A₁AB，
∴点F到平面EAB的距离即为点C到平面A₁AB的距离h，
易知$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}x$，
$又{V_{B-AEF}}={V_{F-ABE}}，且{V_{F-ABE}}=\frac{1}{3}{S_{△ABE}}•h=9\sqrt{3}$，
$即\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×x×\frac{x}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}x=9\sqrt{3}$，
∴x³=216，x=6，
∴正方形AA₁C₁C的边长为6．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查正方形的边长的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．