Question

19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，AD=1．
（1）求证：BC⊥平面PAB．
（2）在侧棱PA上是否存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是$\frac{2}{3}$？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥AB，利用PA⊥平面ABCD，证明PA⊥BC，从而可证BC⊥平面PAB；
（2）假设在侧棱PA上存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是$\frac{2}{3}$，求出平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（2，-1，$\frac{2}{m}$），平面ACD的法向量为$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），利用向量的夹角公式，建立方程，即可求得点E的坐标．

解答 （1）证明：∵底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠DAB=90°，
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB；
（2）解：假设在侧棱PA上存在一点E，使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是$\frac{2}{3}$，
设E（0，0，m）（m＞0），
∴$\overrightarrow{DC}$=（1，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（-1，0，m），
∴设平面CDE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DC}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DE}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{-x+mz=0}\end{array}\right.$，
令x=2，所以y=-1，z=$\frac{2}{m}$，
∴$\overrightarrow{n}$=（2，-1，$\frac{2}{m}$）．
又∵平面ACD的法向量为$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{\frac{4}{m}}{\sqrt{5+\frac{4}{{m}^{2}}•2}}$=$\frac{2}{3}$，∴m=1，
∴点E的坐标是（0，0，1）．
∴在侧棱PA上存在一点E（0，0，1），使得平面CDE与平面ADC所成角的余弦值是$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面垂直，考查线线角，面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，正确表示向量是关键．