Question

10．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（I）求f（x）的最小正周期及对称中心坐标；
（II）求f（x）的递减区间．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解f（x）的最小正周期，利用正弦函数的对称中心求解函数的对称中心坐标；
（II）利用正弦函数的单调增区间求解函数的单调增区间即可．

解答 （本题满分12分）
解：（I）f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx=$sin2x-cos2x+1=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+1$，…（2分）
则f（x）的最小正周期T=π，…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}sin（2x-\frac{π}{4}）=0\\ y=1\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2x-\frac{π}{4}=kπ\\ y=1\end{array}\right.$（k∈Z），
即$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}\\ y=1\end{array}\right.$（k∈Z），f（x）的对称中心坐标为$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}，1）$（k∈Z）；…（7分）
（Ⅱ）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，
得$\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{7π}{8}+kπ$（k∈Z），f（x）的递减区间为$[\frac{3π}{8}+kπ，\frac{7π}{8}+kπ]$（k∈Z）．…（12分）

点评 本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的对称性以及对称中心周期是求法，考查计算能力．