Question

18．已知直线y=kx-k+1恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值为4．

Answer 1

分析 直线y=kx-k+1的图象恒过定点A（1，1），由于点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，可得m+n=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：直线y=kx-k+1即y-1=k（x-1），图象恒过定点A（1，1），
∵点A在直线mx+ny-1=0（mn＞0）上，
∴m+n=1．
则$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）=2+$\frac{n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥2+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{m}{n}}$=4，
当且仅当m=n=$\frac{1}{2}$时取等号，
故答案为：4．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、指数函数的性质，属于基础题．