Question

1．已知曲线y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{2}$），此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（$\frac{4π}{3}$，0），若φ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）求这条曲线的函数表达式；
（2）求此函数在[-2π，2π]上的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由题意求得A、T、ω和φ，写出曲线y的解析式；
（2）根据正弦函数的单调性，求出函数y的增区间，再求函数y在[-2π，2π]上的单调增区间．

解答 解：（1）由题意可得A=$\sqrt{2}$，$\frac{1}{4}$T=$\frac{4π}{3}$-$\frac{π}{3}$=π，
∴T=4π，求得ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{1}{2}$；
再根据最高点的坐标为（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{2}$），
可得$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{3}$+φ）=$\sqrt{2}$，
即sin（$\frac{π}{6}$+φ）=1 ①；
由此最高点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（$\frac{4π}{3}$π，0），
可得$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$×$\frac{4π}{3}$+φ）=0，
即sin（$\frac{2π}{3}$+φ）=0 ②，
由①、②求得φ=$\frac{π}{3}$；
∴曲线y的解析式为y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）；
（2）对于函数y=$\sqrt{2}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得4kπ-$\frac{5π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{π}{3}$；
可得函数y的增区间为[4kπ-$\frac{5π}{3}$，4kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z；
∴函数y在[-2π，2π]上的单调增区间是[-$\frac{5π}{3}$，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题考查了由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，以及三角函数的图象和性质的应用问题，是中档题．