Question

15．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，有以下结论：
①2是函数f（x）的一个周期； 
②函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增；
③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；     
④当x∈（3，4）时，f（x）=2^3-x．
其中，正确结论有（　　）个．

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①利用抽象表达式，将x替换为x+1，即可由周期定义判断①的正误；
②利用函数的周期性，函数在[0，1]和[2，3]上的单调性相同；
③先求函数在x∈[0，1]时的值域，再利用对称性和周期性即可求出函数的值域；
④x∈（3，4）则4-x∈（0，1），f（4-x）=（ $\frac{1}{2}$）^x-3=f（-x）=f（x）．

解答 解：①∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即2是f（x）的周期，①正确
②∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^1-x，
∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，函数f（x）在（1，2）上是减函数，
在（2，3）上是增函数，故②正确；
函数f（x）的最大值是f（1）=1，最小值为f（0）=$\frac{1}{2}$，故③不正确；
设x∈（3，4）则4-x∈（0，1），f（4-x）=（ $\frac{1}{2}$）^x-3=f（-x）=f（x），故④正确．
正确命题：①②④．
故选：B．

点评 本题综合考查了命题的真假的判断应用，函数的周期性定义及其证明，利用函数的对称性和周期性判断函数的最值、单调性、对称轴的方法，转化化归的思想方法．