Question

20．某射击俱乐部将要举行移动靶射击比赛，比赛规则是每位选手可以选择在A 区射击3次或选择在B区射击2次，在A区每射中一次得3分，射不中得0分；在B区每射中一次得2分，射不中得0分．已知参赛选手甲在A区和B区每次射中移动靶的概率分别为$\frac{1}{3}$和p（0＜p＜1）．
（1）若选手甲在A区射击，求选手甲至少得3分的概率
（2）我们把在A，B两区射击得分的数学期望较高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B区射击，求p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出对立事件的概率，在得出选手甲至少得3分的概率；
（2）分别求出在A，B区的得分的数学期望，从而得出不等式，解出p的范围．

解答 解：（1）选手甲在A区设计不得分的概率为（1-$\frac{1}{3}$）³=$\frac{8}{27}$，
∴选手甲在A区设计至少得3分的概率为1-$\frac{8}{27}$=$\frac{19}{27}$．
（2）设选手甲在A区的得分为X，在乙区的得分为Y，
则X的可能取值为0，3，6，9，Y的可能取值为0，2，4，
则P（X=0）=$\frac{8}{27}$，P（X=3）=${C}_{3}^{1}•$$\frac{1}{3}$•（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{4}{9}$，P（X=6）=${C}_{3}^{2}•$（$\frac{1}{3}$）²•$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，P（X=9）=（$\frac{1}{3}$）³=$\frac{1}{27}$，
P（Y=0）=（1-p）²，P（Y=2）=${C}_{2}^{1}$•p（1-p），P（Y=4）=p²，
∴E（X）=0×$\frac{8}{27}$+3×$\frac{4}{9}$+6×$\frac{2}{9}$+9×$\frac{1}{27}$=3，
E（Y）=0×（1-p）²+2×2p（1-p）+4p²=4p，
∴3＜4p，又0＜p＜1，
∴$\frac{3}{4}＜P＜1$．

点评 本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的数学期望，属于中档题．