Question

10．已知正项等比数列{b_n}的前n项和为S_n，b₃=4，S₃=7，数列{a_n}满足a_n+1-a_n=n+1（n∈N*），且a₁=b₁．
（1）求数列[a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n，求证：S_n＜2．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设等比数列{b_n}的公比为q，由b₃=4，S₃=7，可得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}{q}^{2}=4}\\{{b}_{1}（1+q+{q}^{2}）=7}\end{array}\right.$，解得：b₁，q，可得a₁=b₁=1．又a_n+1-a_n=n+1（n∈N*），利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出．
（2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 （1）解：根据题意，设等比数列{b_n}的公比为q，由b₃=4，S₃=7，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}{q}^{2}=4}\\{{b}_{1}（1+q+{q}^{2}）=7}\end{array}\right.$，解得：b₁=1，q=2，
∴a₁=b₁=1．
又a_n+1-a_n=n+1（n∈N*），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=n+（n-1）+…+2+1
=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）证明：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴S_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$＜2．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．