Question

1．如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市．

（1）若该人到达后停留2天（到达当日算1天），求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；
（2）若该人到达后停留3天（到达当日算1天），设X是此人停留期间空气重度污染的天数，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （1）设A_i表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，…，14），依题意知P（A_i）=$\frac{1}{14}$，且A_i∩A_j=∅（i≠j），由此能求出此人停留2天空气质量都是重度污染的概率．
（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及X的期望E（X）．

解答 解：（1）设A_i表示事件“此人于3月i日到达该市”（i=1，2，…，14）．
依题意知P（A_i）=$\frac{1}{14}$，且A_i∩A_j=∅（i≠j）．
设B为事件“此人停留2天空气质量都是重度污染”，则B=A₁∪A₂∪A₁₂∪A₁₃∪A₁₄，
∴此人停留2天空气质量都是重度污染的概率为：
P（B）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₁₂）+P（A₁₃）+P（A₁₄）=$\frac{5}{14}$．
（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=P（A₄∪A₈∪A₉）=$\frac{3}{14}$，
P（X=1）=P（A₃∪A₅∪A₆∪A₇∪A₁₀）=$\frac{5}{14}$，
P（X=2）=P（A₂∪A₁₁∪A₁₄）=$\frac{3}{14}$，
P（X=3）=P（A₁∪A₁₂∪A₁₃）=$\frac{3}{14}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{3}{14}$	$\frac{5}{14}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{3}{14}$

故X的期望E（X）=$0×\frac{3}{14}+1×\frac{5}{14}+2×\frac{3}{14}+3×\frac{3}{14}$=$\frac{10}{7}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．