Question

6．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面关于f（x）的判断，其中不正确的是（　　）

• A． f（x）图象关于点P（1，0）对称
• B． f（x）图象关于直线x=1对称
• C． f（x）在[0，1]上是减函数
• D． f（2）=f（0）

Answer 1

分析 根据题意，由f（x+1）=-f（x）分析可得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即可得f（x）是周期为2的周期函数，可得D正确，利用函数的奇偶性分析可得函数f（x）的图象关于点P（1，0）对称，则A选项正确，B选项错误；结合周期性以及对称性分析可得C选项正确；综合即可得答案．

解答 解：根据题意，若f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
即f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期函数，
则有f（2）=f（0），D选项正确；
若f（x+2）=f（x），且函数f（x）为偶函数，
则有f（x+2）=f（-x），则函数f（x）的图象关于点P（1，0）对称，
则A选项正确，B选项错误；
f（x）在[-1，0]上是增函数，且函数f（x）为偶函数，
则函数f（x）在在[0，1]上是减函数，C选项正确；
故选：B

点评 本题考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性以及周期性，关键是分析得到函数的周期．