Question

11．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）证明：AE⊥平面PCD；
（2）求二面角A-PD-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，从而证得CD⊥AE．证明AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE．
（2）过点A作AF⊥PD，由（1）知，AE⊥面PCD，故∠AFE是二面角A-PD-C的一个平面角，用面积法求得AE 和AF，由 sin∠AFE=$\frac{AE}{AF}$求得结果．

解答 （1）证明：在四棱锥P-ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
故CD⊥PA．由条件CD⊥AC，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．
又AE?平面PAC，∴AE⊥CD．
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．又PC∩CD=C，
综上得AE⊥平面PCD．
（2）解：过点A作AF⊥PD，垂足为F，连接EF．
由（1）知，AE⊥面PCD，故∠AFE是二面角A-PD-C的一个平面角．
设AC=a，则AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
从而AF═$\frac{2}{\sqrt{7}}$aAD=$\frac{2}{\sqrt{3}}$a，PD=$\sqrt{\frac{7}{3}}$a，
从而AF=$\frac{PA•AD}{PD}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$a，
故 sin∠AFE=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．

点评 本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，找出二面角A-PD-C的平面角是解题的难点，属于中档题．