Question

12．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA=$\sqrt{3}$
（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）过PC中点FFH∥平面PBD，FH交平面ABCD于H点，判定H点位于平面ABCD的那个具体位置？（至少写出两个位置，无须证明）
（3）求二面角A-BE-P的大小．

Answer 1

分析 （1）连结BD，由已知可得BE⊥CD，则BE⊥AB．再由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BE．则BE⊥平面PAB．从而得到平面PBE⊥平面PAB；
（2）1、H点与E点重合；2、H点在AC线段的4等分点上，且距离C点$\frac{\sqrt{3}}{4}$；3、取BC中点G，容易证明平面EFG∥平面PBD，那么平面EFG内任意一直线都与平面PBD平行，也就是H点在EG直线上都满足题意；
（3）由（1）知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，则PB⊥BE，结合AB⊥BE，可知∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．求解直角三角形可得二面角A-BE-P的大小．

解答 （1）证明：如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°，
知△BCD是等边三角形．
∵E是CD的中点，∴BE⊥CD，
又AB∥CD，∴BE⊥AB．
又∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴PA⊥BE．
而PA∩AB=A，
∴BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
∴平面PBE⊥平面PAB；
（2）解：1、H点与E点重合；
2、H点在AC线段的4等分点上，且距离C点$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
3、取BC中点G，容易证明平面EFG∥平面PBD，那么平面EFG内任意一直线都与平面PBD平行，
就是H点在EG直线上都满足题意；
（3）解：由（1）知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
∴PB⊥BE．又AB⊥BE，
∴∠PBA是二面角A-BE-P的平面角．
在Rt△PAB中，tan∠PBA=$\frac{PA}{AB}$=$\sqrt{3}$，∠PBA=60°．
故二面角A-BE-P的大小是60°．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了二面角的平面角的求法，是中档题．