Question

19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=$\sqrt{3}$acosB
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\sqrt{3}$，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，得tanB=$\sqrt{3}$，即可求B的值．
（2）利用及余弦定理，基本不等式可得（a+c）²≤12，再根据三角形两边之和大于第三边，从而可求三角形周长的范围

解答 解：（1）∵bsinA=$\sqrt{3}$acosB，
由正弦定理可得：sinBsinA=$\sqrt{3}$sinAcosB，即得tanB=$\sqrt{3}$，
∴B=$\frac{π}{3}$
（2）b=$\sqrt{3}$，由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac
≥（a+c）²-3（$\frac{a+c}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（a+c）²，当且仅当a=c时，等号成立
∴（a+c）²≤12，
∴a+c≤2$\sqrt{3}$，
∵a+c＞b=$\sqrt{3}$
∴2$\sqrt{3}$＜a+c+b≤3$\sqrt{3}$，
∴△ABC周长的取值范围为（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．