Question

9．已知数列{a_n}是等比数列，其前n项和是S_n，a₁+2a₂=0，${S_4}-{S_2}=\frac{1}{8}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）求满足${a_n}≥\frac{1}{16}$的n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比数列的通项公式和前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）分类讨论：当n是偶数时；当n是奇数时，再利用指数函数的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}公比是q，
∵a₁+2a₂=0，∴q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$．
∵S₄-S₂=$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{{a}_{1}（1-（-\frac{1}{2}）^{4}）}{1-（-\frac{1}{2}）}$-（a₁-$\frac{1}{2}$a₁）=$\frac{1}{8}$，
解得a₁=1，
∴a_n=（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
（Ⅱ）∵${a_n}≥\frac{1}{16}$，
∴（-$\frac{1}{2}$）^n-1≥$\frac{1}{16}$，可知：当n是偶数时，此不等式不成立．
当n是奇数时，（-$\frac{1}{2}$）^n-1≥（$\frac{1}{2}$）⁴可化为，∴n-1≤4，解得n≤5．
但n是正整数，故使原不等式成立的n的集合为{1，3，5}．

点评 本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式、指数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．