Question

19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，点M在线段EF上．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理，即可证明：BC⊥平面ACFE；
（2）根据线面平行的判定定理，确定EM的长度，然后根据AM∥平面BDF的判定定理即可得到结论．

解答 解：（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°，∴AC⊥BC
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，
∴BC⊥平面ACFE
（2）当EM=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$，AM∥平面BDF，
在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2，∴$AN=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$
∵EM=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$、∴PM∥AN，PM=AN，∴四边形ANFM是平行四边形，∴AM∥NF
又∵NF?平面BDF，AM?平面BDF∴AM∥平面BDF．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握常用的判定定理和性质定理．