Question

7．已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4^x+x-$\frac{1}{x}$．
（1）求f（-1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若函数g（x）=f（x）+a在区间（1，2）上有零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义f（-1）=-f（1）即可得出；
（2）利用奇函数的性质f（-x）=-f（x）即可得出．
（3）利用函数的单调性以及零点判定定理求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4^x+x-$\frac{1}{x}$，
∴f（-1）=-f（1）=-（4+1-1）=-4．
（2）当x＜0，-x＞0，
∴f（x）=-f（-x）=-（4^-x-x+$\frac{1}{x}$）=-4^-x+x-$\frac{1}{x}$，
f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{4}^{-x}+x-\frac{1}{x}，x＜0}\\{0，x=0}\\{{4}^{x}+x-\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$．
（3）当x＞0时，f（x）=4^x+x-$\frac{1}{x}$是增函数，
则函数g（x）=f（x）+a在区间（1，2）是增函数，
函数g（x）=f（x）+a在区间（1，2）上有零点，
可得：f（1）＜0并且f（2）＞0，
即4+a＜0且17.5+a＞0，
所以-17.5＜a＜-4．

点评 本题考查函数的零点判定定理的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．