Question

10．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且$\frac{a}{sinA}=\frac{2c}{{\sqrt{3}}}$．
（1）确定角C的大小；
（2）若c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理即可得角C的大小；
（2）△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，可得$\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求出ab，根据余弦定理可得答案．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{sinA}=\frac{2c}{{\sqrt{3}}}$
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=\frac{c}{sinC}$
∴$sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵△ABC是锐角三角形，
∴$C=\frac{π}{3}$；
（2）$c=\sqrt{7}$，$C=\frac{π}{3}$
由面积公式：得$\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴ab=6，
由余弦定理，得：${a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}=7$
∴a²+b²=13，（a+b）²=a²+b²+2ab=25
∴a+b=5．

点评 本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，三角形面积的运用．属于基础题．