Question

20．【参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{{x_i}-\bar x}）（{{y_i}-\bar y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{{x_i}-\bar x}）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n•{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\bar y-\hat b\overline x$】
假设关于某种设备的使用年限x（年）与所支出的修理费用y万元），有如下的统计资料：

使用年限 x	2	3	4	5	6
维修费用 y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

由资料可知y与x具有线性相关关系．      
 （1）求回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（2）估计使用年限为10年时维修费用是多少．（参考数据：$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2=}{2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}=90$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=}2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3$）

Answer 1

分析 （1）由题意求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$，代入公式求值，从而得到回归直线方程；
（2）代入x=10即可．

解答 解：（1）由表中数据可知$\overline{x}$=$\frac{2+4+5+6+3}{5}$=4，
$\overline{y}$=$\frac{2.2+3.8+5.5+6.5+7}{5}=5$；
$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2=}{2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}+{6^2}=90$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=}2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3$．
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n•\overline x•\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n•{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{112.3-5×5×4}{90-5×{4}^{2}}$=1.23
∴$\hat a=\bar y-\hat b\overline x$=5-1.23×4=0.08．
故回归直线方程为$\widehat{y}$=1.23x+0.08．
（2）当x=10时，预报y的值为y=1.23×10+0.08=12.38．
答：估计使用年限为10年时维修费用是12.38．

点评 本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．