Question

5．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|
（1）当a=-3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若不等式f（x）＜2的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值，求解即可．（2）问题转化为f（x）=|x+a|+|x-2|≥2，利用绝对值三角不等式直接求解即可．

解答 解：（1）当a=-3时，不等式f（x）≥3
可得$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{3-x+2-x≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2＜x＜3}\\{3-x+x-2≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x-3+x-2≥3}\end{array}\right.$，
解得：x≤1或x≥4
即x∈（-∞，1]∪[4，+∞）．
（2）若不等式f（x）＜2的解集为空集，
则f（x）=|x+a|+|x-2|≥2，
可得|x+a|+|x-2|≥|a+2|≥2，
解得a≥0或a≤-4．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力．