Question

4．（1）已知a，b，c为实数，求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ac．
（2）解关于x的不等式：12x²+ax-a²＜0．

Answer 1

分析 （1）根据基本不等式即可得出结论；
（2）讨论a的范围，比较方程根的大小关系，从而得出不等式的解集．

解答 解：（1）：∵a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
∴2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ac）．
即a²+b²+c²≥ab+bc+ac．
（2）△=a²+48a²=49a²≥0，
①若a=0，则不等式12x²+ax-a²＜0无解；
②若a≠0，则方程12x²+ax-a²=0的解为x₁=-$\frac{a}{3}$，x₂=$\frac{a}{4}$．
∴当a＞0时，x₁＜x₂，当a＜0时，x₁＞x₂，
∴当a＞0时，不等式的解集为（-$\frac{a}{3}$，$\frac{a}{4}$），
当a＜0时，不等式的解集为（$\frac{a}{4}$，-$\frac{a}{3}$）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，基本不等式，属于基础题．