Question

16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=$\frac{π}{3}$，b=2，△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
（1）求a和c的值；
（2）求sin（2B-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出，
（2）根据正弦定理和二倍角公式和同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出．

解答 解：（1）∵△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴c=3
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA
∴$a=\sqrt{7}$ 
（2）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$
∴$sinB=\frac{bsinA}{a}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
∵a＞b，∴$0＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$cosB=\sqrt{1-{{sin}^2}B}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$，
∴$sin2B=2sinBcosB=\frac{{4\sqrt{3}}}{7}$，$cos2B={cos^2}B-{sin^2}B=\frac{1}{7}$，
∴$sin（{2B-\frac{π}{6}}）$=$sin2Bcos\frac{π}{6}-cos2Bsin\frac{π}{6}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{7}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{1}{7}×\frac{1}{2}=\frac{11}{14}$．

点评 本题主要考查了三角形的面积公式及正弦定理余弦定理在求解三角形中的应用以及三角函数的化简和求值，解题的关键是公式的熟练应用，属于中档题