一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球.球的编号分别为1.2.3.4.5.6．(Ⅰ)若从袋中每次随机抽取1个球.有放回的抽取2次.求取出的两个球编号之和为6的概率．(Ⅱ)若从袋中每次随机抽取2个球.有放回的抽取3次.求恰有2次抽到6号球的概率．(Ⅲ)若一次从袋中随机抽取3个球.记球的最大编号为X.求随机变量X的分布列．(Ⅳ)若从袋中每次随机抽取1个球.有放回的抽取3� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．
（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率．
（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率．
（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．
（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列．

分析（Ⅰ）从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，基本事件总数n=6×6=36，利用列举法求出取出的两个球编号之和为6包含的基本事件有5个，由此能求出取出的两个球编号之和为6的概率．
（Ⅱ）从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p=$\frac{1}{3}$，由此能求出3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率．
（Ⅲ）随机变量X所有可能的取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．
（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，记球的最大编号为X，则X的可能取值为1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．

解答解：（Ⅰ）∵一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．
从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，
基本事件总数n=6×6=36，
取出的两个球编号之和为6包含的基本事件有：
（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5个，
∴取出的两个球编号之和为6的概率p=$\frac{5}{36}$．
（Ⅱ）从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，
每次从袋中随机抽取2个球，抽到编号为6的球的概率p=$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为p=${C}_{3}^{2}×（\frac{1}{3}）^{2}×（\frac{2}{3}）=\frac{2}{9}$．
（Ⅲ）随机变量X所有可能的取值为3，4，5，6，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（X=6）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	3	4	5	6
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$

（Ⅳ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取3次，记球的最大编号为X，
则X的可能取值为1，2，3，4，5，6，
P（X=1）=（$\frac{1}{6}$）³=$\frac{1}{216}$，
P（X=2）=${C}_{7}^{1}$×（$\frac{1}{6}$）³=$\frac{7}{216}$，
P（X=3）=${C}_{19}^{1}$×（$\frac{1}{6}$）³=$\frac{19}{216}$，
P（X=4）=${C}_{37}^{1}×（\frac{1}{6}）^{3}$=$\frac{37}{216}$，
P（X=5）=${C}_{61}^{1}$×（$\frac{1}{6}$）³=$\frac{61}{216}$，
P（X=6）=${C}_{91}^{1}$×（$\frac{1}{6}$）³=$\frac{91}{216}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	1	2	3	4	5	6
P	$\frac{1}{216}$	$\frac{7}{216}$	$\frac{19}{216}$	$\frac{37}{216}$	$\frac{61}{216}$	$\frac{91}{216}$

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量分布列的求法，考查古典概型、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．

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