Question

3．已知函数f（x）=|x-3|-5，g（x）=|x+2|-2．
（1）求不等式f（x）≤2的解集；
（2）若不等式f（x）-g（x）≥m-3有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得f（x）≤2，得|x-3|≤7，利用绝对值的意义化为-7≤x-3≤7，解得即可；
（II）f（x）-g（x）≥m-3有解?|x-3|-|x+2|≥m有解?（|x-3|-|x+2|）_max≥m，利用绝对值的意义求出|x-3|-|x-2|的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意得f（x）≤2，得|x-3|≤7，
∴-7≤x-3≤7，解得-4≤x≤10，
∴x的取值范围是[-4，10]． 
（Ⅱ）∵f（x）-g（x）≥m-3有解，
∴|x-3|-|x+2|≥m有解，
∵||x-3|-|x+2||≤|（x-3）-（x+2）|=5，
∴-5≤|x-3|-|x+2|≤5
∴m≤5，即m的取值范围是（-∞，5]．

点评 本题考查了绝对值的意义及其性质和不等式，考查了数形结合的能力，属于中档题．