Question

15．已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b（b-$\sqrt{3}$c）=（a-c）（a+c），且∠B为钝角．
（1）求角A的大小；
（2）若a=$\frac{1}{2}$，求b-$\sqrt{3}$c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理即可求出角A的大小．
（2）由a=$\frac{1}{2}$，正弦定理把b，c用角表示出来，利用三角函数的有界限即可求b-$\sqrt{3}$c的取值范围．

解答 解：（1）由b（b-$\sqrt{3}$c）=（a-c）（a+c），即${b}^{2}-\sqrt{3}bc={a}^{2}-{c}^{2}$
根据余弦定理cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵a=$\frac{1}{2}$，A=$\frac{π}{6}$，
由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
可得：b=sinB，c=sinC．
那么：b-$\sqrt{3}$c=sinB-$\sqrt{3}$sinC=sin（$\frac{5π}{6}$-C）-$\sqrt{3}$sinC=$\frac{1}{2}$cosC-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC=cos（$\frac{π}{3}+C$）
∵∠B为钝角．
∴A=$\frac{π}{6}$，
∴$0＜C＜\frac{π}{3}$
那么：$\frac{π}{3}＜C+\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$．
则cos（$\frac{π}{3}+C$）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）
即b-$\sqrt{3}$c的取值范围是（$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了正余弦定理的灵活运用和三角函数有界限求解取值范围问题．属于中档题．